数论问题的奥数题

关于数论问题的奥数题

导语：数论问题在奥数竞赛中一直是热点和难点，以下是小编为大家精心整理的关于数论问题的奥数题，欢迎大家参考！

今天的目标是解2004年华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数相乘，积称为“美妙数”。问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？

该题目属于数论问题，解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数相乘，积称为“美妙数”。请问任意的“美妙数”能否被3整除？

题目二（中等难度）

三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数相乘，积称为“美妙数”。请问任意的`“美妙数”能否被4整除？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数相乘，积称为“美妙数”。问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？

以下为答案：

题目一：

答:能。

任意3个连续的数，中间一定有1个是3的倍数。

而“美妙数”是3个连续正整数相乘，一定可以被3整除。

题目二：

答: 能。

假设构成“美妙数”的中间一个数是n*n，对n的奇偶性进行讨论：

当n是奇数，n*n-1和n*n+1都是偶数，乘积可以被4整除；

当n是偶数，n*n能被4整除，乘积可以被4整除。

题目三：

答:60。

从题目一和二知道，“美妙数”是3的倍数，也是4的倍数。

又因为完全平方数的最后一位数字只能是1、4、5、6、9、0，将上述数字当作中间数，三个连续的数字中一定有一个可以被5整除。

因此，“美妙数”也是5的倍数。

故：“美妙数”是60=3*4*5的倍数。

又因为最小的美妙数是60，

所以，所有的“美妙数”的最大公约数是60。